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// Simultaneous evaluation of a given polynomial and its first derivative at a given point
// Simultane Berechnung des Wertes eines Polynoms n-ten Grades und seiner Ableitung

type
  TPolynomArray = array of Double;

procedure Horner(Polynom: TPolynomArray; X: Extended; var FX, derivation: Extended);
var
  i: Integer;
  H: Integer;
begin
  H := High(Polynom);
  FX := Polynom[H];
  derivation := 0.0;
  for i := H - 1 downto 0 do
  begin
    derivation := derivation * X + FX;
    FX := FX * X + Polynom[i];
  end;
end;

{Beispiel / Sample code }

procedure TForm1.Button1Click(Sender: TObject);
var
  X, FX, derivation: Extended;
begin
 (* Horner's scheme give an algorithm for the simultaneous evaluation
   of a given polynomial and its first derivative at a given point *)

 (* Hornerschema zur Berechnung eines Polynoms n-ten Grades an einem
    bestimmten Punkt *)

  (* f(x) = 3 x^5 + 4 x^4 + 13 x^3 - 59 x^2 + 19 x - 97 *)

  X := 2.5;
  Horner(VarArrayOf([-97, 19, - 59, 13, 4, 3]), X, FX, derivation);
  ShowMessage(Format('x = %n'#13#10'f(x) = %n'#13#10'f''(x) = %n', [X, FX, derivation]));
end;